نویسنده: محمدرضا تیموری محمد نصری مدرس: دکتر پرورش خالصۀ موضوع درس سیستم های مینیمم فاز: به نام خدا

Transcript

1 به نام خدا پردازش سیگنالهای دیجیتال نیمسال اول ۹۵-۹۶ هفته یازدهم ۹۵/۰8/2۹ مدرس: دکتر پرورش نویسنده: محمدرضا تیموری محمد نصری خالصۀ موضوع درس یا سیستم های مینیمم فاز تجزیه ی تابع سیستم به یک سیستم مینیمم فاز و یک سیستم تمام گذر جبران پاسخ فرکانسی سیستم ه غیر مینیمم فاز خواص سیستم های مینیمم فاز سیستم های علی با فاز خطی تعمیم یافته مکان صفرها برای سیستم های FIR با فاز خطی تعمیم یافته رابطه ای بین سیستم های FIR با فاز خطی تعمیم یافته و سیستم های مینیمم فاز ساختارهای سیستم های گسسته در زمان سیستم های مینیمم فاز: در سیستم های علی پایدار تمامی قطب ها داخل دایره ی واحد هستند. اگر معکوس این سیستم ها نیز علی و پایدار باشند تمامی صفرهای آن نیز داخل دایره ی واحد خواهد بود. به این سیستم ها سیستم های مینیمم فاز می گویند. نکته : یک سیستم مینیمم فاز را می توان با ( jω H(e ( اندازه پاسخ فرکانسی کامل( مشخص کرد. C(z) = H(z)H ( 1 z ) C(e jω ) = H(e jω )H ( 1 e jω) = H(ejω ) 2 C(z) = H(z)H ( 1 z ) = (a ۰ ) 2 (1 c kz 1 )(1 c k z) b ۰ (1 d k z 1 )(1 d k z) M i=1 z = 1 c k z = c k z = d k z = 1 d k 1 d k 1 d k

2 d k = a + jb 1 d k = 1 = a+jb a jb a 2 +b 2 پس برای یافتن سیستم از هر زوج صفر یا قطب آن صفر یا قطبی که داخل دایره واحد است را انتخاب می کنیم. تجزیه ی تابع سیستم به یک سیستم مینیمم فاز و یک سیستم تمام گذر: هر تابع کسری را می توان به صورت زیر نوشت: که در آن (z) H min سیستم مینیم فاز و (z) H ap یک سیستم تمام گذر است. اثبات: H(z) = H min (z)h ap (z) 1) < ( c. در این صورت: H(z) فرض کنید صفر c k = 1 z در تابع c خارج از دایره واحد قرار دارد و H(z) = H 1 (z)(z 1 c ) که در آن (z) H 1 یک سیستم مینیمم فاز است. بنابراین: H(z) = [H 1 (z)(1 cz 1 )] H min (z) قسمت مینیمم فاز ( z 1 c 1 cz 1) H ap (z) قسمت تمام گذر ) 1 cz H 1 (z)(1 دارای پاسخ اندازه ی یکسانی هستند. نکته: ) c H 1 (z)(z 1 و H(z) = H 1 (z)(z 1 c ) = H 1 (z)(1 cz 1 ) مثال: p ۰ H(z) = 1 3z z 1 صفر خارج دایره واحد (3 = ۰ z) را به (z) H ap نسبت می دهیم. قطبی در معکوس آن یعنی نیز به (z) H p ۰ = 1 ap 3 نسبت می دهیم تا اثر آن روی دامنه ی (z) H ap خنثی شود. این قطب داخل دایره واحد قرار دارد. سپس صفری برای خنثی کردن در همان نقطه باید اضافه کنیم که آن را به 2 H min (z) نسبت می دهیم:

3 H(z) = ( z 1 1 3z ) ( z z 1) H min (z) H ap (z) جبران پاسخ فرکانسی سیستم های غیر مینیمم فاز: فرض کنید سیگنال دلخواه از یک سیستم علی و پایدار عبور کرده است و دچار اعوجاج شده باشد. اگر تابع سیستم (z) H d مینیمم فاز باشد معکوس آن (z) H c هم علی و پایدار خواهد بود. در نتیجه سیستم معکوس قابل پیاده سازی خواهد بود. x[n] H d (z) y[n] x[n] H d (z) H c (z) = 1 H d (z) y[n] x[n] یک سیستم علی و پایدار و قابل پیاده سازی خواهد بود اگر (z) H d مینیمم فاز نباشد آنگاه در حالت کلی پیاده سازی سیستم جبران کننده (z) H c امکان پذیر نیست. در این حالت با (z) H d بسازیم که با انعکاس صفر های (z) H d از خارج دایره واحد به داخل دایره واحد می توان سیستم مینیمم فاز معادل برای H dmin (z) و H d (z) نمایش می دهیم. H dmin (z) (z) H ap با یکدیگر مرتبط هستند: دارای دامنه پاسخ فرکانسی یکسان هستند و از طریق سیستم تمام گذر H d (z) = H dmin (z) H d (z) = H dmin (z)h ap (z) = (z) H c استفاده کنیم در این صورت تابع سیستم کل برابر است با: 1 H dmin (z) اگر برای جبران سازی از فیلتر G(z) = H d (z)h c (z) = H ap (z) 3

4 یعنی ورودی و خروجی توسط تابع سیستم تمام گذر با یکدیگر رابطه دارند. پس دامنه ی پاسخ فرکانسی به طور دقیق جبران سازی می شود ولی فاز آن به ) jω H ap e) تغییر می یابد..1 خواص سیستم های مینیمم فاز کمترین عقب افتادگی فاز اثبات: arg[h(e jω )] = arg [H min (e jω )] + arg[h ap (e jω )] )] jω arg[h ap (e jω min (e همواره منفی است بنابراین )] jω arg[h(e کوچکتر از arg[h است. در نتیجه )] [( jω arg[h min e) کمترین مقدار phase-lag را در بین تمامی سیستم هایی که اندازه ی پاسخ فرکانسی یکسانی دارند دارد. شرط الزم برای تحقق این شرط این است که فرض کنیم ) jω H(e در = ۰ ω حقیقی و مثبت است. یعنی: H(e jω ) ω=. = h[n] > ۰ 2. کمترین مقدار تاخیر گروه: grd[h(e jω )] = grd[h min (e jω )] + grd[h ap (e jω )] H همواره مثبت است. بنابراین در میان تمام سیستم هایی که اندازه ی پاسخ فرکانسی برابر grd[h ap e) jω min e) jω ( )] تاخیر گروه ) jω H min (e مینیمم است. دارند 3. کم ترین مقدار تاخیر انرژی: برای سیستم های مینیمم فاز با پاسخ ضربه ی [n] h min می توان نشان داد که: n n h min [n] 2 h[m] 2 m=۰ m=۰ که h[m] پاسخ ضربه ی هر سیستم دیگری است که ) jω. H(e jω ) = H min (e می دانیم که در سیستم های مینیمم فاز همه ی صفرها داخل دایره واحد هستند. بر عکس سیستم هایی که همه ی صفرهای آن ها خارج دایره واحد هستند دارای بیشترین میزان تاخیر انرژی در بین تمامی سیستم های با اندازه برابر هستند. این سیستم ها دارای 4

5 بیشترین تاخیر انرژی هستند و به دلیل شباهت این خاصیت با خاصیت تاخیر انرژی در سیستم های مینیمم فاز سیستم های ماکزیمم فاز نامیده می شوند. سیستم های علی با فاز خطی تعمیم یافته: در سیستم های علی فاز صفر امکان پذیر نیست بنابراین در عمل مجبوریم اعوجاج در فاز را اجازه دهیم. اما فاز غیر خطی می تواند تاثیرات زیادی روی شکل سیگنال بگذارد حتی اگر اندازه ی پاسخ فرکانسی ثابت باشد. بنابراین در بسیاری اوقات عالقه مندیم که سیستم هایی با فاز تقریبا خطی طراحی کنیم. 1- سیستم های دارای فاز خطی: H id (e jω ) = e jωα ω < π α عددی حقیقی است ولی الزاما صحیح نیست. H id (e jω ) = 1, H id (e jω ) = ωα, grd H id (e jω ) = α h id [n] = sinc (n α) اگر α عددی صحیح باشد آنگاه : α = n d h id [n] = sinc (n n d ) = δ[n n d ] y[n] = h id [n] x[n] = δ[n n d ] x[n] = x[n n d ] 2- سیستم های با فاز خطی تعمیم یافته: اگر پاسخ فرکانسی سیستمی به فرم زیر باشد: H(e jω ) = A(e jω ) e jαω+jβ ) jω A(e تابعی حقیقی است ولی لزوما مثبت نیست. در این سیستم تاخیر گروه صرف نظر از نقاط ناپیوستگی یک عدد ثابت است: arg (H(e jω )) = { β αω ; A(ejω ) ۰ β αω + (2k + 1)π ; A(e jω ) < ۰ grd (H(e jω )) = α مثال: سیستم متوسط گیری لغزش: 5

6 1 ; ۰ n M h[n] = { M + 1 درغیراینصورت ; ۰ H(e jω ) = 1 ω(m + 1) sin ( ) 2 M + 1 sin ( ω 2 ) e j ωm 2 grd (H(e jω )) = M 2 شرط الزم برای داشتن فاز خطی تعمیم یافته: فرض کنیم h[n] پاسخ ضربه حقیقی باشد. H(e jω ) = A(e jω )e j(β αω) = A(e jω ) cos(β αω) + ja(e jω ) sin(β αω) H(e jω ) = h[n]e jωn = h[n] cos ωn j h[n] sin ωn A(e jω ) cos(β αω) h[n] sin ωn = A(e jω ) sin(β αω) h[n] cos ωn بنابراین: h[n](sin(β αω) cos ωn + cos(β αω) sin ωn) = ۰ h[n] sin(ω(n α) + β) = ۰ ; ω شرط الزم روی h[n] برای آن که سیستم فاز خطی تعمیم یافته داشته باشد. و h[n] h[2α [n = آنگاه شرط باال برقرار خواهد بود. حالت : 1 فرض کنید π یا = ۰ β و 2α = M Z + h[n] sin(ω(n α)) + h[2α n] sin(ω(2α n α)) + h[2α n] = h[n] 2α = M Z β = یا π 2 3π 2 حالت 2: فرض کنید و و 6

7 + h[n] sin (ω(n α) + π 2 ) + h[2α n] sin (ω(2α n α) + π 2 ) + Cos (ω-α) Cos (ω (n-α)) نکته: حالت های 1 و 2 شرایط کافی نیز برای داشتن فاز خطی تعمیم یافته می باشند. 3- سیستم های علی با فاز خطی تعمیم یافته: { h[n] sin(ω(n α) + β) = ۰ h[n] = ۰ ; n < ۰ اگر سیستم علی باشد آنگاه شرط الزم برای داشتن فاز خطی تعمیم یافته عبارتست از: ; ω حالت 1 علی: برای آنکه h[n] غیر صفر باشد. n ۰ { 2α n = M n ۰ ۰ n M h[n]=۰ است. n<۰ در نتیجه اگر n>m باشد یا در این صورت یک سیستم FIR علی خواهیم داشت: h[m n] h[n] = { 0 < n < M درغیراینصورت ۰ H(e iω ) = Ae (e iω ) e iωm/2 حالت 2 علی: تابع حقیقی زوج متناوب یک سیستم FIR خواهیم داشت: 7 تابع حقیقی فرد متناوب

8 h[m n] h[n] = { 0 < n < M درغیراینصورت ۰ H(e iω ) = Ao (e iω ) e iωm/2 نکته : سیستم های IRR با فاز خطی تعمیم یافته نیز وجود دارند وای پاسخ فرکانسی آن ها به صورت خارج قسمت دو چند جمله ایی نیستند. نکته : بستتته به اینکه m زوج باشتتد یا فرد و یا حالت یک یا دو باشتتیم چرار نوم مختل FIR علی با فاز خطی تعمیم یافته خواهیم داشت. m می باشد سیستم تاخیر n که h[n]=h[m-n] نوم : I mیک عدد صحیح زوج باشد و بین ۰ و 2/m خواهیم داشت: H(e iω ) = Ae (e iω )e iωm/2 m/2 Ae (e iω ) = a[k]cos (wk) k=۰ a[۰]=h[m/2], a[k]= 2h[m/2 -k], k=1 2 3,..m/2 نوع mیک : II عدد صحیح فرد است h[m-n]=h[n] ۰<n<m H(e iω ) = Ae (e iω ) e iωm/2 8

9 m یک عدد زوج صحیح است نوع :iii h[m-n]=-h[n] ۰<n<m H(e iω ) = A۰ (e iω ) e iωm/2 نوع m : iv یک عدد فرد صحیح باشد h[m-n]=-h[n] ۰<n<m 9

10 H(e iω ) = A۰ (e iω ) e iωm/2 مکان صفرها برای سیستم های FIR با فاز خطی تعمیم یافته : M z پاسخ ضربه : H(z) = h[n] z n = h[m n] z n = ± h[k] z k m = ±z m h[k] z k = ±z m H(z 1 ) n=0 M n=0 M n=0 M n=0 تبدیل H(z) خواهد بود. اگر.z یک صفر H(z) باشد آن گاه 1 z نیز یک صفر اگر h[n] حقیقی باشد آنگاه اگر.z صفر H(z) باشد آنگاه.z نیزصفر H(z) است. صفرهای سیستم FIR با فاز خطی تعمیم یافته 10

11 و. z z. و 1 z. 1.Z صفر مختلط و z. و. z z. ) مخال 1 یا 1- باشد ( روی دایره z. z. و 1 z..z مخال 1 یا -1 باشد )حقیقی ) z ۰ =Z۰ باشد +1,-1 iii در ) 1 و 1 -( حتما صفر دارند و فیلترهای IV حتما در )1( صفر دارند. فیلترهای نوم II حتما در )1-( صفر دارند و فیلترهای نکته : رابطه ای بین سیستم های FIR با فاز خطی تعمیم یافته و سیستم های مینیمم فاز: تابع سیستم های FIR با فاز خطی تعمیم یافته را می توان به صورت زیر نوشت : H(z)= H min (Z) H uc(z) H max(z) (z) H min =سیستم مینیمم فاز uc(z) = H سیستم صفرها = سیستم ماکزیمم فاز H max(z) نکته : (Z) Hmax (Z)= z. mi Hmin M= 2mi+m. نکته : = M i تعداد صفرهای مینیمم فاز.m = صفرهای دایره واحد 11

12 ساختارهای سیستم های گسسته در زمان : یک سیستم LTi که با معادله تفاضلی بیان شده را می توان به صورت مختلفی پیاده سازی کرد شکل های مختل پیاده سازی دارای حجم محاسباتی متفاوت و حساسیت به خطای مختلفی هستند. بلوک دیاگرام : معادله تفاضلی : پیاده سازی به صورت فرم مستقیم 1(1 ) direct form N Y[n] - k=1 ak y[n-k]= k=۰ bk x[n-k] M پیاده سازی به صورت فرم مستقیم II( 2 )direct form 12

13 نکته : تعداد تاخیرها از M+N به (M,n) max کاهش پیدا کرده است. نکته :ترتیب سیستم عوض شده و می تواند در خطاهای محاسباتی تاثیر بگذارد فلوگراف (: )flowgraph سیستم ها را با یک گراف جرت دار نشان می دهیم -مقدار هر سیگنال گره جمع سیگنال های ورودی است گره مقصد :گره ای است که خروجی ندارد. مثال (نمایش فرم مستقیم دو یک به صورت فلوگراف 13

14 مثال ) در نتیجه داریم : W1(Z)=W4(Z) X(Z) W2(Z)=αW1(Z) W3(Z)=W2(Z)+X(Z) W4(Z)= z 1 W3(Z) Y(Z)=W2(Z)+W4(Z) در نتیجه y برابر خواهد بود با : Y(Z)=( z 1 α 1 αz 1)X(Z) Hop نکته : یک سیستم تمام گذر را با یک تاخیر و یک ضرب کننده ساخته ایم : Y[n ] αy[n 1] = αx[n] + x[n 1] 14

15 یک تاخیر و دو ضرب دوتاخیر و دو ضرب 15